1. प्रस्तावना: UPSC CSAT और गणित का डर
नमस्कार भावी प्रशासनिक अधिकारियों।
UPSC की तैयारी में अक्सर देखा गया है कि हिंदी माध्यम के अभ्यर्थी सामान्य अध्ययन (GS) में तो बहुत अच्छा प्रदर्शन करते हैं – लेकिन CSAT (Paper 2) उनके लिए एक “लोहे का चना” बन जाता है। विशेषकर गणित (Quantitative Aptitude) का डर कई होनहार छात्रों को रेस से बाहर कर देता है।
लेकिन, मैं आपको एक विश्वास दिलाना चाहता हूँ। संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) गणित का वह अध्याय है जो सबसे आसान है और सबसे ज्यादा भरोसेमंद भी। यदि आप जोड़, घटाव और गुणा जानते हैं – तो आप इस टॉपिक के मास्टर बन सकते हैं। इस विस्तृत लेख में, हम किसी किताबी भाषा का प्रयोग नहीं करेंगे। हम एक क्लासरूम की तरह, बिल्कुल जीरो लेवल से बात करेंगे ताकि एक नॉन-मैथ्स बैकग्राउंड का छात्र भी इसे समझ सके और 2026 के कठिन पैटर्न में भी अपना स्कोर सुनिश्चित कर सके।
1. SYLLABUS MAPPING (2026–27): संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) कितना जरूरी है?
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) UPSC CSAT के सिलेबस के ‘आधारभूत संख्ययन’ (Basic Numeracy) खंड का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। यह टॉपिक सीधे-सीधे संख्याओं के गुणधर्मों और उनकी गणना से जुड़ा है। हालांकि CSAT एक क्वालीफाइंग पेपर है और इसमें केवल 33% (या 66 अंक) ही लाने होते हैं, इसे हल्के में लेना एक बड़ी भूल होगी। पिछले वर्षों के आँकड़े बताते हैं कि ‘आधारभूत संख्ययन’ से औसतन 14 प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें से एक अच्छा हिस्सा इकाई अंक से संबंधित होता है। इसका मतलब है कि इस एक टॉपिक पर पकड़ बनाकर आप अपने कुल स्कोर में आसानी से 4-6 अंक जोड़ सकते हैं, जो 33% का लक्ष्य हासिल करने में एक मजबूत आधार बनेगा।
2. CONCEPT BUILDING (Beginner → Advanced): संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) की शुरुआत से मास्टरी तक
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) का साधारण अर्थ है किसी भी संख्या का सबसे दायीं ओर वाला अंक। जैसे 4589 में 9 इकाई का अंक है। चुनौती तब आती है जब हमें किसी बड़ी संख्या की बहुत बड़ी घात (Power) जैसे (623)⁴⁸ का इकाई अंक पूछा जाता है। इसे हल करने की कुंजी है ‘चक्रीयता’ (Cyclicity) का सिद्धांत। मेरे क्लासरूम में मैं इसे ‘4-स्टेप मैजिक फॉर्मूला’ कहता हूँ। आइए इसे टॉपिक-वार समझते हैं।
चक्रीयता (Cyclicity) का मूल सिद्धांत:
0 से 9 तक के अंकों को जब हम स्वयं से बार-बार गुणा करते हैं (यानी उनकी घात लेते हैं), तो परिणाम का इकाई अंक एक निश्चित चक्र में दोहराने लगता है। यह चक्र 1, 2 या 4 अंकों का हो सकता है। नीचे दी गई टेबल इसे याद रखने में आपकी मदद करेगी:
| अंक (Digit) | इकाई अंकों का चक्र (Cycle) | चक्र की लंबाई (Cycle Length) | याद रखने की ट्रिक |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | क्रमशः 0, 1, 5, 6 | 1 | इनकी किसी भी घात का इकाई अंक वही अंक होता है। |
| 4, 9 | 4→ 4,6 / 9→ 9,1 | 2 | 4 की विषम घात: 4, सम घात: 6। 9 का उल्टा: विषम घात: 9, सम घात: 1। |
| 2, 3, 7, 8 | 2→ 2,4,8,6 / 3→ 3,9,7,1 / 7→ 7,9,3,1 / 8→ 8,4,2,6 | 4 | इन सभी का चक्र 4 अंकों का है। याद रखें: 2 और 8 के चक्र के अंक (2,4,8,6) एक जैसे हैं। |
(Diagram Mention): अपनी नोटबुक में इस टेबल को एक बॉक्स में बना लें। यह आपकी सबसे कीमती चीट शीट होगी।
4-स्टेप मैजिक फॉर्मूला (किसी भी संख्या Nˣ का इकाई अंक निकालने के लिए):
- स्टेप 1: आधार संख्या (N) का इकाई अंक ‘d’ लिखें। पूरी संख्या को नजरअंदाज करें।
- स्टेप 2: ऊपर की टेबल से अंक ‘d’ की चक्र लंबाई ‘c’ पता करें।
- स्टेप 3: घातांक (x) को चक्र लंबाई (c) से भाग दें और शेषफल (r) नोट करें। अगर शेषफल 0 आता है, तो r = c मानें।
- स्टेप 4: अंक ‘d’ के चक्र में rवाँ अंक ही आपका उत्तर होगा।
उदाहरण: (623)⁴⁸ का इकाई अंक ज्ञात करें।
- स्टेप 1: 623 का इकाई अंक 3 है।
- स्टेप 2: 3 की चक्र लंबाई 4 है (चक्र: 3, 9, 7, 1)।
- स्टेप 3: घातांक 48 को 4 से भाग दें। 48 ÷ 4 = 12, शेषफल 0। चूँकि शेषफल 0 है, हम r = 4 लेंगे।
- स्टेप 4: 3 के चक्र का चौथा अंक 1 है।
- उत्तर: (623)⁴⁸ का इकाई अंक 1 होगा।
अन्य टॉपिक्स में एप्लीकेशन:
- Percentage, Profit & Loss: बड़ी संख्याओं पर त्वरित गणना या अनुमान लगाने में।
- Time & Work / SI & CI: चक्रीय कार्य या लंबी अवधि के ब्याज में अंतिम राशि का इकाई अंक पता करने में।
- Data Interpretation: DI सेट में गुणनफल या योग के परिणाम की शीघ्र जाँच करने में।
3. PYQ-BASED LEARNING: संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) UPSC ने पिछले साल कैसे पूछा?
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) का सबसे अच्छा अभ्यास पिछले वर्षों के प्रश्नों (PYQs) को हल करके होता है। आइए देखते हैं UPSC ने किस तरह से इस कॉन्सेप्ट को टेस्ट किया है।
प्रश्न 1 (2015 के पैटर्न पर आधारित): व्यंजक (147)¹⁵⁶ का इकाई अंक क्या है?
(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9
चरणबद्ध हल:
- स्टेप 1: आधार (147) का इकाई अंक = 7.
- स्टेप 2: 7 का चक्र: 7, 9, 3, 1 (चक्र लंबाई = 4).
- स्टेप 3: घातांक 156 को 4 से भाग दें। 156 ÷ 4 = 39, शेषफल 0। शेषफल 0 है, इसलिए हम शेषफल को 4 मानेंगे।
- स्टेप 4: 7 के चक्र का चौथा अंक = 1.
- उत्तर: विकल्प (a) 1.
एग्जामिनर माइंडसेट: यह प्रश्न सीधा है और बस आपकी चक्रीयता की समझ को टेस्ट करता है। ग़लती अक्सर शेषफल 0 को लेकर होती है। याद रखें, शेषफल 0 का मतलब चक्र का आखिरी (यानी चौथा) अंक होता है।
प्रश्न 2 (संयुक्त प्रश्न, CSAT 2020 के स्तर का): व्यंजक (324)⁷³ + (781)⁴⁹ के योग का इकाई अंक क्या है?
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 9
चरणबद्ध हल:
- पहला हिस्सा: (324)⁷³
- इकाई अंक 4 है। 4 का चक्र (4,6) लंबाई 2 है।
- घातांक 73 विषम है। 4 की विषम घात का इकाई अंक हमेशा 4 होता है।
- तो, इस भाग का इकाई अंक = 4.
- दूसरा हिस्सा: (781)⁴⁹
- इकाई अंक 1 है। 1 की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा 1 होता है।
- तो, इस भाग का इकाई अंक = 1.
- दोनों को जोड़ें: अब, (…4) + (…1) = …5 (इकाई अंक 5).
- उत्तर: विकल्प (b) 5.
एग्जामिनर माइंडसेट: यह प्रश्न दो कॉन्सेप्ट्स को जोड़ता है: चक्रीयता और विशेष अंकों (1,5,6) का नियम। यह आपको यह देखने के लिए प्रेरित करता है कि क्या आप सीधे शॉर्टकट का उपयोग कर सकते हैं, ताकि समय बच सके। यहाँ 4 की विषम घात और 1 की किसी भी घात के नियम ने गणना को सेकंडों में कर दिया।
4. PRACTICE QUESTIONS: संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) पर मजबूत पकड़ के लिए अभ्यास
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) पर पूरी पकड़ बनाने के लिए विभिन्न स्तर के प्रश्नों का अभ्यास जरूरी है। इन्हें हल करने का प्रयास करें।
1. (आसान) (456)¹⁰² का इकाई अंक क्या है?
(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8
2. (मध्यम) (259)³³ × (371)¹⁸ के गुणनफल का इकाई अंक क्या है?
(a) 1
(b) 3
(c) 7
(d) 9
3. (कठिन) यदि N = 1! + 2! + 3! + 4! + … + 100! है, तो N का इकाई अंक क्या है?
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
विस्तृत व्याख्या:
1. उत्तर: (c) 6
* स्टेप 1: आधार 456 का इकाई अंक = 6.
* स्टेप 2: 6 की किसी भी धनात्मक घात का इकाई अंक हमेशा 6 होता है (टेबल देखें).
* इसलिए, (456)¹⁰² का इकाई अंक = 6.
2. उत्तर: (d) 9
* पहला भाग: (259)³³ → इकाई अंक 9 है। 9 की विषम घात (33 विषम है) का इकाई अंक 9 होता है।
* दूसरा भाग: (371)¹⁸ → इकाई अंक 1 है। 1 की किसी भी घात का इकाई अंक 1 होता है।
* गुणनफल: 9 × 1 = 9। अतः गुणनफल का इकाई अंक 9 है।
3. उत्तर: (b) 3
* यह एक ट्रिकी प्रश्न है। फैक्टोरियल पर ध्यान दें: 5! = 120, जिसका इकाई अंक 0 है।
* 5! के बाद हर फैक्टोरियल (6!, 7!, …, 100!) में 5 एक गुणनखंड होगा, इसलिए उन सभी का इकाई अंक 0 होगा।
* इसलिए, N का इकाई अंक सिर्फ पहले चार फैक्टोरियल्स के योग पर निर्भर करेगा: 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33.
* 33 का इकाई अंक 3 है। अतः N का इकाई अंक 3 होगा।
5. STRATEGY SECTION: संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) और CSAT में सफलता की रणनीति
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) जैसे टॉपिक्स पर अच्छी पकड़ आपको CSAT में स्मार्ट रणनीति बनाने में मदद करती है। याद रखें, CSAT में 80 प्रश्नों के लिए केवल 2 घंटे मिलते हैं, यानी प्रति प्रश्न औसतन 1.5 मिनट। ऐसे में समय प्रबंधन सबसे महत्वपूर्ण है।
- प्रयास रणनीति (Attempt Strategy): सबसे पहले उन प्रश्नों को हल करें जो आपको आसान लगते हैं, जैसे कि इकाई अंक, रीडिंग कॉम्प्रिहेंशन (जिससे औसतन 25+ प्रश्न आते हैं), और सरल रीजनिंग। इकाई अंक के प्रश्नों को आप 30-45 सेकंड में हल कर सकते हैं। इससे आपका आत्मविश्वास बढ़ेगा और समय बचेगा।
- समय प्रबंधन (Time Management): पेपर के पहले 1 घंटे में आपको लगभग 50-55 प्रश्न हल करने का लक्ष्य रखना चाहिए। इस हिसाब से इकाई अंक जैसे प्रश्न त्वरित स्कोरिंग अवसर हैं।
- घबराहट पर काबू (Panic Handling): अगर कोई प्रश्न 1-2 मिनट में नहीं बन रहा है, तो उसे छोड़ दें और आगे बढ़ जाएं। नेगेटिव मार्किंग (1/3 अंक कट) है, इसलिए बिना सोचे-समझे गएस वर्क न करें। अपने स्ट्रांग एरिया से अच्छे अंक ले आना ही काफी है।
6. COMMON MISTAKES (Hindi Medium): संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) में हिंदी माध्यम छात्रों की आम गलतियाँ
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) में हिंदी माध्यम के छात्रों से अक्सर कुछ खास तरह की गलतियाँ होती हैं, जिन पर ध्यान देकर आप बड़े अंक बचा सकते हैं।
- शेषफल (Remainder) को गलत समझना: सबसे बड़ी गलती घातांक को चक्र लंबाई से भाग देने पर शेषफल 0 आने की स्थिति में होती है। जैसे (xyz)²⁰ में अगर चक्र लंबाई 4 है, तो 20 ÷ 4 का शेषफल 0 आता है। इसमें शेषफल को 0 न मानकर चक्र लंबाई (4) मानना चाहिए। इसके लिए याद रखें: “शून्य शेष, चक्र पूर्ण।”
- पूरी संख्या पर ध्यान देना: प्रश्न (278)⁹⁹ देखकर कई छात्र घबरा जाते हैं और पूरी संख्या की कल्पना करने लगते हैं। याद रखें, आपको सिर्फ इकाई के अंक (8) से मतलब है। बाकी सभी अंकों को नजरअंदाज कर दें।
- चक्र याद न रहना: चक्रीयता की टेबल को रटना जरूरी है। खासकर 2,3,7,8 के 4-अंकीय चक्र। इन्हें बार-बार लिखकर याद करें। एक छोटी सी चीट शीट बनाकर अपने स्टडी टेबल पर चिपका लें।
- जोड़/घटाव में उधार (Borrow) भूल जाना: जब (..1) – (..7) जैसा घटाव हो, तो उत्तर का इकाई अंक 4 होगा (11-7=4), न कि यह सोचकर कि 1 से 7 नहीं घटता। यहाँ पहली संख्या के दहाई के स्थान से एक ‘उधार’ लिया जाता है।
7. FINAL REVISION CHECKLIST & CONCLUSION: संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) की परीक्षा से पहले अंतिम रणनीति
संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) और पूरे CSAT के लिए एक व्यवस्थित रिविजन प्लान आपको परीक्षा हॉल में शांति और आत्मविश्वास देगा।
30-दिन का प्लान:
- फोकस: कॉन्सेप्ट क्लियर करें। चक्रीयता की पूरी टेबल और 4-स्टेप मैथड को अच्छी तरह समझ लें।
- अभ्यास: रोजाना इस टॉपिक के कम से कम 10 प्रश्न हल करें। अलग-अलग पैटर्न के (जोड़, गुणा, घटाव वाले)।
7-दिन का प्लान (परीक्षा से एक सप्ताह पहले):
- फोकस: स्पीड और एक्यूरेसी बढ़ाएँ। लक्ष्य रखें कि एक इकाई अंक का प्रश्न 1 मिनट से भी कम में हल हो।
- अभ्यास: पिछले 5 वर्षों के CSAT पेपर्स में से ‘Number System’ और ‘Basic Numeracy’ के सभी प्रश्न हल करें।
परीक्षा-दिन का प्लान:
- पेपर शुरू होते ही: सबसे पहले रीडिंग कॉम्प्रिहेंशन और इकाई अंक जैसे अपने स्ट्रांग एरिया के प्रश्न ढूंढें और हल करें।
- मानसिकता: यह याद रखें कि सभी 80 प्रश्न हल करना जरूरी नहीं है। लगभग 30-35 प्रश्न सही हल करके भी आप 33% आसानी से पार कर सकते हैं।
- शांत रहें: अगर कुछ प्रश्न कठिन लगें, तो घबराएँ नहीं। छोड़ दें और आगे बढ़ जाएँ। अंत में समय बचा, तो वापस आएँ।
निष्कर्ष:
मेरे 10 साल के अनुभव में मैंने यही देखा है कि CSAT डराने वाला नहीं, बल्कि एक समझदारी से तैयारी करने वाले छात्र के लिए सबसे आसान पड़ाव है। संख्या पद्धति (Number System) इकाई का अंक (Unit Digit) इसी तैयारी का एक ऐसा पहलू है जो कम मेहनत में ज्यादा अंक दिलाता है। इस गाइड में दिए गए कॉन्सेप्ट, पीवाईक्यू और रणनीति पर भरोसा करें, नियमित अभ्यास करें। जब आप परीक्षा हॉल में बैठेंगे, तो आप खुद पाएँगे कि CSAT का भय दूर हो गया है और उसकी जगह एक सकारात्मक आत्मविश्वास ने ले ली है। सफलता आपके कदम चूमेगी।