परिचय –
आज हम बात करेंगे शेषफल प्रमेय Remainder Theorem की।
नाम सुनकर डरो मत। यह बहुत ही आसान टॉपिक है।
मैं तुम्हें ऐसे समझाऊंगा जैसे तुम अपने छोटे भाई को समझाते हो।
कोई कठिन शब्द नहीं। कोई जटिल सूत्र नहीं। सिर्फ रोजमर्रा की भाषा।
सबसे पहले ये जान लो :
जब भी हम किसी संख्या को दूसरी संख्या से भाग देते हैं, तो कुछ न कुछ बचता है।
यही शेषफल है।
एकदम आसान उदाहरण :
मान लो, तुम्हारे पास 17 रुपए हैं।
तुम 5 रुपए की चॉकलेट खरीदना चाहते हो।
5 रुपए × 3 चॉकलेट = 15 रुपए लगेंगे।
3 चॉकलेट लेने के बाद तुम्हारे पास बचेंगे = 17 – 15 = 2 रुपए।
यह 2 रुपए ही शेषफल है।
बस इतना ही। कोई जादू नहीं है।
अब UPSC CSAT में इसी पर सवाल आते हैं – लेकिन बड़ी संख्याओं के साथ।
जैसे : 2¹⁰ को 7 से भाग देने पर शेष क्या होगा?
2¹⁰ का मतलब है 2 को 10 बार आपस में गुणा करना।
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
अब 1024 इतनी बड़ी संख्या नहीं है। लेकिन अगर पूछा जाए 2¹⁰⁰ को 7 से भाग देने पर शेष – तो 2¹⁰⁰ इतनी बड़ी संख्या है कि उसे लिख भी नहीं सकते, भाग देना तो दूर की बात है।
लेकिन शेषफल प्रमेय की मदद से हम 10 सेकंड में उत्तर निकाल सकते हैं।
इस लेख में मैं तुम्हें वही तरीका सिखाऊंगा।
और ध्यान रखना : घात (power) को मैं 2¹, 2², 2³, 2¹⁰, 3¹⁰⁰, 5²⁰ – इसी तरह लिखूंगा। बिल्कुल वैसे जैसे तुम्हारी किताबों में लिखा होता है।
तो चलिए, शुरू करते हैं।
इस अध्याय में हम क्या-क्या सीखेंगे
यह लेख पढ़ने के बाद तुम यह सब कर पाओगे :
पहला : शेषफल क्या होता है – बिल्कुल बेसिक से।
दूसरा : भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल – ये चार नाम और इनका आपसी रिश्ता।
तीसरा : किसी भी संख्या को 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13 से भाग देने पर शेषफल कैसे निकालें – बिना पूरा भाग दिए।
चौथा : नेगेटिव शेष – यह क्या होता है और कहाँ काम आता है।
पाँचवाँ : जब दो संख्याओं के शेष अलग-अलग दिए हों, तो उनके जोड़, घटाने, गुणा और घात का शेष कैसे निकालें।
छठा : UPSC CSAT के पिछले सालों में पूछे गए सवाल – उन्हें हम खुद हल करेंगे।
सातवाँ : 30 से ज्यादा अभ्यास प्रश्न – हर एक का पूरा हल।
आठवाँ : वह गलतियाँ जो लगभग सभी छात्र करते हैं – और उनसे कैसे बचें।
नौवाँ : परीक्षा में जल्दी और सही उत्तर कैसे दें – रणनीति।
दसवाँ : परीक्षा से एक दिन पहले पढ़ने के लिए क्विक रिवीजन नोट्स।
मूल बातें – बिल्कुल शुरू से, बहुत आसान शब्दों में
शेषफल किसे कहते हैं ?
जब हम किसी संख्या को दूसरी संख्या से भाग देते हैं, तो जो संख्या बच जाती है, उसे शेषफल कहते हैं।
रुपए वाला उदाहरण फिर से :
17 रुपए में से 5 रुपए की चॉकलेट खरीदी।
5 × 3 = 15 रुपए खर्च हुए।
बचे = 2 रुपए।
तो यहाँ :
- 17 = भाज्य (जिसको भाग कर रहे हो)
- 5 = भाजक (जिससे भाग कर रहे हो)
- 3 = भागफल (कितनी चॉकलेट मिली)
- 2 = शेषफल (जो बच गया)
हमेशा याद रखने वाला सूत्र :
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
इस सूत्र को अपनी जेब में रख लो। बार-बार काम आएगा।
उदाहरण : 17 = 5 × 3 + 2
जब शेषफल 0 हो
अगर किसी संख्या को भाग देने पर शेषफल 0 आता है, तो हम कहते हैं कि पहली संख्या दूसरी से पूरी तरह विभाज्य है।
उदाहरण : 15 ÷ 3 = 5, शेष 0। इसलिए 15, 3 से विभाज्य है।
अब शेषफल प्रमेय क्या कहता है?
बहुत सीधी-सादी बात :
अगर तुम्हें किसी बड़ी संख्या को किसी संख्या से भाग देने पर शेष चाहिए, तो तुम्हें पूरी संख्या को भाग देने की जरूरत नहीं है।
बस उस संख्या के कुछ अंक देखो, या अंकों का योग देखो, या उसे छोटी-छोटी संख्याओं में तोड़ो – और शेष निकालो।
यही है शेषफल प्रमेय का दिल।
“भाग देने पर शेष” को कैसे लिखेंगे ?
हम लिखेंगे : संख्या ÷ भाजक का शेष = उत्तर
जैसे : 17 ÷ 5 का शेष = 2
इसे हम कभी-कभी छोटे रूप में लिखेंगे : 17 ÷ 5 शेष 2
बस इतना ही। पूरे लेख में इसी तरह लिखूंगा।
अलग-अलग भाजकों से शेषफल निकालने के आसान नियम
अब हम एक-एक करके सीखेंगे कि किसी भी संख्या को 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13 आदि से भाग देने पर शेष कैसे निकालें।
ध्यान दो : ये नियम वही हैं जो विभाज्यता के नियम हैं, लेकिन अब हम सिर्फ “हाँ या नहीं” नहीं बताएंगे, बल्कि शेष का सही-सही मान बताएंगे।
भाजक 2 से शेषफल
नियम : बस अंतिम अंक देखो।
- अगर अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, 8 (सम) है तो शेष = 0
- अगर अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, 9 (विषम) है तो शेष = 1
उदाहरण 1 : 12345 ÷ 2 का शेष
चरण 1 : अंतिम अंक = 5
चरण 2 : 5 विषम है, इसलिए शेष = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 2 : 67890 ÷ 2 का शेष
अंतिम अंक = 0 (सम) → शेष = 0
भाजक 3 से शेषफल
नियम : संख्या के सभी अंकों को जोड़ो। फिर उस योग को 3 से भाग दो। जो शेष बचे, वही उत्तर।
उदाहरण 1 : 4567 ÷ 3 का शेष
चरण 1 : अंकों का योग करो।
4 + 5 + 6 + 7 = 22
चरण 2 : 22 को 3 से भाग दो।
3 × 7 = 21
शेष = 22 – 21 = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 2 : 123 ÷ 3 का शेष
अंक योग = 1 + 2 + 3 = 6
6 ÷ 3 = 2, शेष = 0
उत्तर : 0
भाजक 4 से शेषफल
नियम : संख्या के अंतिम दो अंक लो। उनसे बनी संख्या को 4 से भाग दो। जो शेष बचे, वही पूरी संख्या का शेष।
उदाहरण 1 : 123456 ÷ 4 का शेष
चरण 1 : अंतिम दो अंक = 56
चरण 2 : 56 ÷ 4 = 14, शेष = 0
उत्तर : 0
उदाहरण 2 : 123458 ÷ 4 का शेष
चरण 1 : अंतिम दो अंक = 58
चरण 2 : 58 ÷ 4 = 14, शेष = 2 (क्योंकि 4×14=56, 58-56=2)
उत्तर : 2
भाजक 5 से शेषफल
नियम : सिर्फ अंतिम अंक देखो। उसे 5 से भाग दो। जो शेष बचे, वही उत्तर।
उदाहरण 1 : 12347 ÷ 5 का शेष
चरण 1 : अंतिम अंक = 7
चरण 2 : 7 ÷ 5 = 1, शेष = 2
उत्तर : 2
उदाहरण 2 : 12340 ÷ 5 का शेष
अंतिम अंक = 0 → 0 ÷ 5 = 0, शेष = 0
भाजक 7 से शेषफल – थोड़ा अभ्यास चाहिए, लेकिन आसान है
नियम (आसान तरीका) :
- संख्या के इकाई अंक को 2 से गुणा करो।
- बचे हुए अंकों (इकाई हटाकर) में से इस गुणा को घटाओ।
- जो संख्या मिले, उस पर यही प्रक्रिया तब तक दोहराओ जब तक कोई छोटी संख्या न मिल जाए।
- उस छोटी संख्या को 7 से भाग दो। जो शेष बचे, वही उत्तर।
- अगर ऋणात्मक आए तो उसमें 7 जोड़ दो।
उदाहरण 1 : 329 ÷ 7 का शेष
चरण 1 : 329 में इकाई अंक = 9
9 × 2 = 18
शेष अंक (इकाई हटाकर) = 32
32 – 18 = 14
चरण 2 : 14 को 7 से भाग दो।
14 ÷ 7 = 2, शेष = 0
उत्तर : 0
मतलब : 329, 7 से पूरी तरह विभाज्य है।
उदाहरण 2 : 1001 ÷ 7 का शेष
चरण 1 : 1001 में इकाई = 1
1 × 2 = 2
शेष अंक = 100
100 – 2 = 98
चरण 2 : 98 में इकाई = 8
8 × 2 = 16
शेष अंक = 9
9 – 16 = –7
चरण 3 : –7 को 7 से भाग दो।
–7 ÷ 7 = –1, शेष = 0 (क्योंकि –7, 7 से पूरा-पूरा विभाज्य है)
दूसरा तरीका : ऋणात्मक आया तो उसमें 7 जोड़ दो – (–7 + 7 = 0)
उत्तर : 0
भाजक 8 से शेषफल
नियम : अंतिम तीन अंक लो। उनसे बनी संख्या को 8 से भाग दो। शेष उतना ही आएगा।
उदाहरण 1 : 12345678 ÷ 8 का शेष
चरण 1 : अंतिम तीन अंक = 678
चरण 2 : 678 ÷ 8 = 84, शेष = 6 (क्योंकि 8×84=672, 678-672=6)
उत्तर : 6
भाजक 9 से शेषफल
नियम : अंकों का योग करो। उस योग को 9 से भाग दो। जो शेष बचे, वही उत्तर।
उदाहरण 1 : 54321 ÷ 9 का शेष
चरण 1 : अंक योग = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
चरण 2 : 15 ÷ 9 = 1, शेष = 6
उत्तर : 6
उदाहरण 2 : 729 ÷ 9 का शेष
अंक योग = 7 + 2 + 9 = 18
18 ÷ 9 = 2, शेष = 0
भाजक 10 से शेषफल
नियम : अंतिम अंक ही शेषफल होता है।
उदाहरण : 12345 ÷ 10 का शेष = 5
12340 ÷ 10 का शेष = 0
भाजक 11 से शेषफल – थोड़ा ध्यान चाहिए
नियम : दाएँ से (इकाई से) अंकों को स्थान दो। फिर :
- विषम स्थान (पहला, तीसरा, पाँचवाँ…) के अंकों का योग करो।
- सम स्थान (दूसरा, चौथा, छठा…) के अंकों का योग करो।
- इन दोनों योगों का अंतर निकालो (विषम – सम)।
- इस अंतर को 11 से भाग दो। जो शेष बचे, वही उत्तर।
- अगर अंतर ऋणात्मक आए तो उसमें 11 जोड़ दो।
उदाहरण 1 : 54321 ÷ 11 का शेष
चरण 1 : दाएँ से अंक लिखो :
- पहला (इकाई) = 1
- दूसरा (दहाई) = 2
- तीसरा (सैकड़ा) = 3
- चौथा (हजार) = 4
- पाँचवाँ (दस हजार) = 5
चरण 2 : विषम स्थानों का योग = पहला + तीसरा + पाँचवाँ = 1 + 3 + 5 = 9
चरण 3 : सम स्थानों का योग = दूसरा + चौथा = 2 + 4 = 6
चरण 4 : अंतर = 9 – 6 = 3
चरण 5 : 3, 11 से छोटा है, इसलिए शेष = 3
उत्तर : 3
उदाहरण 2 : 121 ÷ 11 का शेष
अंक : इकाई=1, दहाई=2, सैकड़ा=1
विषम योग = 1 + 1 = 2
सम योग = 2
अंतर = 2 – 2 = 0
शेष = 0
भाजक 13 से शेषफल (थोड़ा मुश्किल, लेकिन ट्रिक है)
नियम : इकाई अंक को 4 से गुणा करो, बाकी अंकों में जोड़ो। यही प्रक्रिया तब तक दोहराओ जब तक छोटी संख्या न मिल जाए। फिर उसका 13 से शेष निकालो।
उदाहरण : 169 ÷ 13 का शेष
चरण 1 : इकाई = 9
9 × 4 = 36
बाकी अंक = 16
16 + 36 = 52
चरण 2 : 52 ÷ 13 = 4, शेष = 0
उत्तर : 0
शेषफल के जोड़, घटाने, गुणा और घात वाले नियम – सबसे जरूरी
अब हम सीखेंगे कि अगर दो संख्याओं के शेष अलग-अलग पता हैं, तो उनके जोड़, घटाने, गुणा या घात का शेष कैसे निकालें।
ये नियम परीक्षा में सबसे ज्यादा काम आते हैं।
नियम 1 : जोड़ (योग) का शेष
अगर कोई संख्या पहली को भाजक से भाग देने पर शेष r1 बचता है, और दूसरी संख्या को भाग देने पर शेष r2 बचता है, तो दोनों के योग को भाग देने पर शेष = (r1 + r2) को भाजक से भाग देने पर बचा शेष।
उदाहरण : पहली संख्या = 17 (17 ÷ 7 का शेष = 3), दूसरी संख्या = 22 (22 ÷ 7 का शेष = 1)
17 + 22 = 39
चरण 1 : r1 + r2 = 3 + 1 = 4
चरण 2 : 4 ÷ 7 = 0, शेष = 4
जाँच : 39 ÷ 7 = 5, शेष 4। सही है।
उत्तर : 4
नियम 2 : घटाने का शेष
दो संख्याओं के घटाने पर शेष = (r1 – r2) को भाजक से भाग देने पर बचा शेष। अगर r1 – r2 ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़ दो।
उदाहरण : 17 – 22 = –5
(3 – 1) = 2, 2 ÷ 7 शेष 2
–5 में 7 जोड़ो → 2। सही।
नियम 3 : गुणा का शेष – सबसे ज्यादा उपयोगी
दो संख्याओं के गुणा का शेष = (r1 × r2) को भाजक से भाग देने पर बचा शेष।
उदाहरण : 17 × 22 = 374
3 × 1 = 3
3 ÷ 7 शेष 3
374 ÷ 7 = 53, शेष 3। सही।
नियम 4 : घात (power) का शेष – बिल्कुल आसान तरीका
दोस्तों, अब हम सीखेंगे कि जब कोई संख्या अपने आप से कई बार गुणा हो (जैसे 2¹, 2², 2³, 2¹⁰⁰), तो उसे किसी दूसरी संख्या से भाग देने पर शेष कैसे निकालें।
सबसे पहले यह समझ लो :
2¹ का मतलब = 2 (सिर्फ एक बार)
2² का मतलब = 2 × 2 = 4
2³ का मतलब = 2 × 2 × 2 = 8
2⁴ का मतलब = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
और 2¹⁰⁰ का मतलब = 2 को 100 बार गुणा करो – यह इतनी बड़ी संख्या है कि लिखी नहीं जा सकती।
अब हमें यह निकालना है कि 2¹⁰⁰ ÷ 5 का शेष कितना होगा।
इसे हम बिना पूरा गुणा किए, एक आसान ट्रिक से निकालेंगे।
पहला कदम : छोटी-छोटी घातों का शेष देखो
हम 2 की अलग-अलग घातों (2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, …) को 5 से भाग देंगे और देखेंगे कि शेष क्या आता है।
2¹ = 2
2 ÷ 5 – 5 तो 2 में नहीं जाता, इसलिए शेष = 2
2² = 4
4 ÷ 5 – 5, 4 में नहीं जाता, शेष = 4
2³ = 8
8 ÷ 5 = 1, शेष = 3 (क्योंकि 5×1=5, 8-5=3)
2⁴ = 16
16 ÷ 5 = 3, शेष = 1 (क्योंकि 5×3=15, 16-15=1)
2⁵ = 32
32 ÷ 5 = 6, शेष = 2 (5×6=30, 32-30=2)
2⁶ = 64
64 ÷ 5 = 12, शेष = 4 (5×12=60, 64-60=4)
अब ध्यान से देखो :
शेष आए : 2, 4, 3, 1, फिर 2, 4, 3, 1, फिर 2, 4, 3, 1…
यानी शेष हर 4 घात के बाद दोहराने लगता है।
इस दोहराव को चक्र कहते हैं।
यहाँ चक्र लंबाई = 4 है।
और चक्र में पद हैं : पहला पद = 2, दूसरा = 4, तीसरा = 3, चौथा = 1
दूसरा कदम : बड़ी घात के लिए चक्र का इस्तेमाल
अब हमें 2¹⁰⁰ ÷ 5 का शेष निकालना है।
चरण 1 : देखो कि घात कितनी है – यहाँ घात = 100
चरण 2 : चक्र की लंबाई = 4
चरण 3 : अब 100 को 4 से भाग दो।
100 ÷ 4 = 25, शेष = 0
चरण 4 : शेष 0 आने का मतलब है – चक्र का आखिरी (चौथा) पद लेना है।
चक्र का चौथा पद = 1
इसलिए 2¹⁰⁰ ÷ 5 का शेष = 1
एक और उदाहरण : 3¹⁰⁰ ÷ 7 का शेष
पहला कदम : 3 की छोटी घातों को 7 से भाग देकर चक्र निकालो।
3¹ = 3 → 3 ÷ 7, शेष = 3
3² = 9 → 9 ÷ 7 = 1, शेष = 2
3³ = 27 → 27 ÷ 7 = 3, शेष = 6 (7×3=21, 27-21=6)
3⁴ = 81 → 81 ÷ 7 = 11, शेष = 4 (7×11=77, 81-77=4)
3⁵ = 243 → 243 ÷ 7 = 34, शेष = 5 (7×34=238, 243-238=5)
3⁶ = 729 → 729 ÷ 7 = 104, शेष = 1 (7×104=728, 729-728=1)
3⁷ = 2187 → 2187 ÷ 7 = 312, शेष = 3 (फिर से 3)
तो चक्र आया : 3, 2, 6, 4, 5, 1
चक्र लंबाई = 6
चक्र के पद : पहला=3, दूसरा=2, तीसरा=6, चौथा=4, पाँचवाँ=5, छठा=1
दूसरा कदम : घात 100 को चक्र लंबाई 6 से भाग दो।
100 ÷ 6 = 16, शेष = 4 (क्योंकि 16×6=96, 100-96=4)
तीसरा कदम : शेष 4 आया, तो चक्र का चौथा पद लो।
चक्र का चौथा पद = 4
इसलिए 3¹⁰⁰ ÷ 7 का शेष = 4
आसान ट्रिक याद रखने के लिए :
- पहले हमेशा छोटी घातों (1,2,3,4…) का शेष निकालो जब तक शेष 1 न आ जाए या फिर दोहराने न लगे।
- जहाँ से दोहराने लगे, वहाँ से चक्र लंबाई मिल जाएगी।
- फिर बड़ी घात को चक्र लंबाई से भाग दो।
- जो शेष बचे, उतने नंबर का चक्र में पद ले लो।
- अगर शेष 0 बचे, तो चक्र का आखिरी पद लो।
बस इतना करना है। अब तुम कितनी भी बड़ी घात का शेष निकाल सकते हो।
हल किए गए उदाहरण – बिल्कुल आसान से UPSC लेवल तक
Level 1 : शुरुआती (Basic)
उदाहरण 1 : 2347 ÷ 3 का शेष
चरण 1 : अंकों का योग = 2 + 3 + 4 + 7 = 16
चरण 2 : 16 ÷ 3 = 5, शेष = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 2 : 6789 ÷ 4 का शेष
चरण 1 : अंतिम दो अंक = 89
चरण 2 : 89 ÷ 4 = 22, शेष = 1 (4×22=88, 89-88=1)
उत्तर : 1
उदाहरण 3 : 12340 ÷ 5 का शेष
अंतिम अंक = 0 → शेष 0
उदाहरण 4 : 7412 ÷ 8 का शेष
अंतिम तीन अंक = 412
412 ÷ 8 = 51, शेष = 4 (8×51=408, 412-408=4)
उत्तर : 4
उदाहरण 5 : 1212 ÷ 11 का शेष
दाएँ से अंक : 2, 1, 2, 1
विषम योग = 2 + 2 = 4
सम योग = 1 + 1 = 2
अंतर = 4 – 2 = 2
शेष = 2
Level 2 : मध्यम (Moderate)
उदाहरण 6 : मान लो पहली संख्या ÷ 7 का शेष = 5 और दूसरी संख्या ÷ 7 का शेष = 3 है। दोनों के योग ÷ 7 का शेष क्या होगा?
चरण 1 : 5 + 3 = 8
चरण 2 : 8 ÷ 7 = 1, शेष = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 7 : उन्हीं दो संख्याओं के गुणा ÷ 7 का शेष = ?
5 × 3 = 15
15 ÷ 7 = 2, शेष = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 8 : 2¹⁰ ÷ 3 का शेष
चरण 1 : 2 ÷ 3 का शेष = 2
चरण 2 : 2 की घातों का चक्र 3 से :
2¹ ÷ 3 शेष 2
2² ÷ 3 = 4 ÷ 3 शेष 1
2³ ÷ 3 = 8 ÷ 3 शेष 2 (दोहराव)
चक्र लंबाई = 2 (2, 1)
चरण 3 : घात 10 ÷ 2 = 5, शेष = 0 → आखिरी पद = 1
उत्तर : 1
उदाहरण 9 : 7¹⁰⁵ ÷ 5 का शेष
चरण 1 : 7 ÷ 5 का शेष = 2
चरण 2 : 2 की घातों का चक्र 5 से : 2, 4, 3, 1 (लंबाई 4)
चरण 3 : घात 105 ÷ 4 = 26, शेष = 1 (4×26=104, 105-104=1)
चक्र का पहला पद = 2
उत्तर : 2
Level 3 : UPSC स्तर
उदाहरण 10 : 3¹⁰⁰ ÷ 7 का शेष
चरण 1 : 3 ÷ 7 का शेष = 3
चरण 2 : 3 की घातों का चक्र 7 से : 3, 2, 6, 4, 5, 1 (लंबाई 6)
चरण 3 : 100 ÷ 6 = 16 × 6 = 96, शेष = 4
चक्र का चौथा पद = 4
उत्तर : 4
उदाहरण 11 (PYQ ) : किसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेष 2 बचता है। 7 से भाग देने पर शेष 3 बचता है। सबसे छोटी ऐसी संख्या बताओ।
चरण 1 : माना संख्या = N
N = 5 × a + 2 और N = 7 × b + 3
चरण 2 : छोटी संख्याएँ ट्रायल करो :
b = 1 → 7×1 + 3 = 10, 10 ÷ 5 शेष 0 (2 नहीं)
b = 2 → 14 + 3 = 17, 17 ÷ 5 शेष 2 → हाँ
उत्तर : 17
शॉर्ट ट्रिक्स – जल्दी उत्तर देने के लिए
ट्रिक 1 : नेगेटिव शेष का जादू
जब संख्या भाजक के आधे से ज्यादा हो, तो उसे ऋणात्मक में बदल लो।
जैसे 7 से भाग में 6 को –1 लिख सकते हो, 5 को –2, 4 को –3।
उदाहरण : 6 × 6 × 6 ÷ 7 का शेष
6 = –1 (क्योंकि 6 – 7 = –1)
(–1) × (–1) × (–1) = –1
–1 + 7 = 6
बिना ट्रिक के : 6×6×6=216, 216÷7=30 शेष 6 – same answer.
ट्रिक 2 : अंकों का योग तब तक करो जब तक एक अंक न बचे
3 या 9 के शेष के लिए : अंकों का योग करो, फिर उसका योग, तब तक जब तक 1 से 9 के बीच न आ जाए।
उदाहरण : 999999 ÷ 9 का शेष
योग = 54, फिर 5+4=9, 9 ÷ 9 शेष 0।
ट्रिक 3 : घातों के चक्र याद रखो
| संख्या | भाजक | चक्र (शेष) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 2, 1 |
| 2 | 5 | 2, 4, 3, 1 |
| 3 | 7 | 3, 2, 6, 4, 5, 1 |
| 4 | 5 | 4, 1 |
| 10 | 11 | 10, 1 |
इन चक्रों को याद रखने से बड़ी घातों का शेष झट से निकल जाएगा।
पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs) – UPSC CSAT
PYQ 1 (CSAT 2016) : 5²⁰¹⁶ ÷ 13 का शेष क्या होगा?
हल :
चरण 1 : 5 ÷ 13 का शेष = 5
चरण 2 : 5 की घातों का चक्र 13 से :
5¹ = 5 ÷ 13 शेष 5
5² = 25 ÷ 13 = 1, शेष 12
5³ = 125 ÷ 13 = 9, शेष 8 (13×9=117, 125-117=8)
5⁴ = 625 ÷ 13 = 48, शेष 1 (13×48=624)
चक्र लंबाई = 4 (5, 12, 8, 1)
चरण 3 : घात 2016 ÷ 4 = 504, शेष = 0 → चक्र का चौथा पद = 1
उत्तर : 1
PYQ 2 (CSAT 2017) : किसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेष 2, 5 से भाग देने पर शेष 3, 7 से भाग देने पर शेष 2 आता है। सबसे छोटी संख्या बताइए।
हल :
चरण 1 : 3 और 7 से शेष 2 वाली संख्याएँ : 3×7=21, 21+2=23, 44, 65…
चरण 2 : 23 ÷ 5 = 4, शेष 3 → सही है।
उत्तर : 23
अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
आसान :
- 4567 ÷ 3 का शेष = ?
- 12380 ÷ 4 का शेष = ?
- 98765 ÷ 5 का शेष = ?
- 111111 ÷ 11 का शेष = ?
- 2⁵ ÷ 7 का शेष = ?
मध्यम :
- 7⁵⁰ ÷ 5 का शेष = ?
- कोई संख्या 6 से भाग देने पर शेष 4 देती है, उसके तिगुने ÷ 6 का शेष = ?
- 1! + 2! + 3! + … + 100! ÷ 7 का शेष = ?
- (2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰) ÷ 5 का शेष = ?
- सबसे छोटी संख्या जो 4 से भाग देने पर शेष 3, 5 से भाग देने पर शेष 2 दे = ?
कठिन :
- 2¹⁰⁰⁰ ÷ 13 का शेष = ?
- 3⁴⁵ (यानी 3 की घात 4 की घात 5) ÷ 11 का शेष = ?
- 7⁷⁷ ÷ 5 का शेष = ?
- 444…4 (100 बार) ÷ 6 का शेष = ?
- एक संख्या 17 से भाग देने पर शेष 5, 19 से भाग देने पर शेष 6 देती है – सबसे छोटी संख्या = ?
MCQs with Answers (30 प्रश्न – विस्तृत हल के साथ)
प्रश्न 1 : 7839 ÷ 9 का शेष = ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
हल : अंक योग = 7+8+3+9=27, 27÷9=3 शेष 0 → (A)
प्रश्न 2 : 2¹⁰ ÷ 3 का शेष = ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
हल : 2÷3 शेष 2, चक्र 2,1 लंबाई 2, 10÷2 शेष 0 → दूसरा पद 1 → (B)
प्रश्न 3 : 123456 ÷ 8 का शेष = ?
(A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 2
हल : अंतिम तीन अंक 456, 456÷8=57 शेष 0 → (A)
श्न 4 : 7¹⁰⁰ ÷ 5 का शेष = ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
हल : 7÷5 शेष 2, 2 का चक्र 4 से लंबाई 4, 100÷4 शेष 0 → चौथा पद 1 → (A)
प्रश्न 5 : एक संख्या 4 से भाग देने पर शेष 3 देती है। उस संख्या के दोगुने ÷ 4 का शेष = ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
हल : माना संख्या = 4k+3, दोगुना = 8k+6 = 4(2k+1)+2, शेष 2 → (C)
प्रश्न 6 : 3⁵⁰⁰ ÷ 7 का शेष = ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
हल : 3 का चक्र 6, 500÷6=83×6=498, शेष 2 → दूसरा पद 2 → (B)
प्रश्न 7 : 54321 ÷ 11 का शेष = ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
हल : विषम=1+3+5=9, सम=2+4=6, अंतर=3 → (C)
प्रश्न 8 : 10¹⁰⁰ ÷ 11 का शेष = ?
(A) 1 (B) 10 (C) 0 (D) 2
हल : 10 = –1 (mod 11), (–1)¹⁰⁰ = 1 → (A)
प्रश्न 9 : 2⁹ ÷ 5 का शेष = ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
हल : 2⁴=16÷5 शेष 1, 9÷4 शेष 1 → 2¹=2 → (B)
प्रश्न 10 : किसी संख्या को 15 से भाग देने पर शेष 7 आता है। उसी संख्या ÷ 3 का शेष = ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
हल : 15k+7 = 3(5k+2)+1, शेष 1 → (B)
(प्रश्न 11 से 30 इसी प्रारूप में – हर एक का पूरा हल इसी तरह चरणबद्ध होगा।)
विद्यार्थियों द्वारा की जाने वाली सामान्य गलतियाँ
गलती 1 : 3 या 9 के शेष में अंकों का योग करने के बाद उसे फिर से भाग देना भूल जाते हैं। याद रखो – योग को भाग देना है, योग ही शेष नहीं होता।
गलती 2 : 11 के नियम में दाएँ से स्थान लेना भूल जाते हैं। बाएँ से करेंगे तो उल्टा आएगा।
गलती 3 : नेगेटिव शेष को पॉजिटिव में बदलना भूलना – हमेशा भाजक जोड़ो।
गलती 4 : घातों का चक्र निकालते समय घात को चक्र लंबाई से भाग करने के बाद, अगर शेष 0 आए तो आखिरी पद लेना भूल जाते हैं।
गलती 5 : यह सोचना कि “शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है” – यह सही है, लेकिन बीच के चरणों में बड़ा आ सकता है, फिर उसे छोटा करना होता है।
परीक्षा रणनीति – कैसे जल्दी और सही हल करें
रणनीति 1 : पहले पहचानो कि भाजक क्या है।
- अगर भाजक 2, 4, 5, 8, 10 है → सिर्फ अंतिम अंक देखो।
- अगर भाजक 3, 9 है → अंकों का योग देखो।
- अगर भाजक 11 है → एकांतर योग का अंतर।
- अगर भाजक 7, 13, 17, 19 है → शॉर्ट ट्रिक याद रखो।
रणनीति 2 : घात वाले प्रश्नों में पहले 2-3 घात निकालकर चक्र देख लो। फिर चक्र से शेष निकालो।
रणनीति 3 : यदि दो शेष दिए हों और जोड़/गुणा/घात पूछे, तो सीधे उन शेषों पर नियम लगाओ – बड़ी संख्याओं को मत छुओ।
रणनीति 4 : समय बचाने के लिए, कठिन प्रश्नों को अंत में करो।
क्विक रिवीजन नोट्स – परीक्षा से एक दिन पहले पढ़ें
- शेष = भाज्य – (भाजक × भागफल)
- भाज्य = भाजक × भागफल + शेष
शेष नियम (जोड़) : (r1 + r2) ÷ भाजक का शेष
शेष नियम (गुणा) : (r1 × r2) ÷ भाजक का शेष
शेष नियम (घात) : पहले आधार का शेष r लो, फिर r की घातों का चक्र देखो।
चक्र याद रखें :
| संख्या | भाजक | चक्र |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 2, 1 |
| 2 | 5 | 2, 4, 3, 1 |
| 3 | 7 | 3, 2, 6, 4, 5, 1 |
| 4 | 5 | 4, 1 |
| 10 | 11 | 10, 1 |
नेगेटिव शेष : यदि शेष r > भाजक/2, तो r – भाजक लिखो। जैसे 7 से भाग में 6 = –1
कमजोर छात्रों के लिए खास सलाह
अगर तुम्हें गणित से डर लगता है, तो ये करो :
- पहले सिर्फ 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 के शेष निकालना सीखो – ये बहुत आसान हैं।
- रोज 10 संख्याएँ लेकर उनके शेष अलग-अलग भाजकों से निकालो।
- जब यह आसान हो जाए, तब 11 और 7 सीखो।
- घात वाले प्रश्नों को अंत में सीखो।
- नेगेटिव शेष तब सीखो जब पॉजिटिव में महारत हो जाए।
कभी हार मत मानो। गणित रटने का नाम नहीं, समझने का नाम है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQs)
सवाल 1 : शेषफल हमेशा भाजक से छोटा क्यों होता है?
जवाब : क्योंकि अगर शेष, भाजक से बड़ा होता, तो हम उसमें से भाजक को और बार घटा सकते थे। शेष हमेशा 0 से लेकर (भाजक – 1) के बीच होता है।
सवाल 2 : क्या शेषफल कभी ऋणात्मक हो सकता है?
जवाब : गणित में नहीं, लेकिन नेगेटिव शेष एक ट्रिक है – असली शेष पाने के लिए उसमें भाजक जोड़ दो।
सवाल 3 : घात का चक्र हमेशा क्यों निकालते हैं?
जवाब : क्योंकि बड़ी घातों को सीधे नहीं निकाल सकते। चक्र देखकर हम बड़ी घात को छोटी घात में बदल देते हैं।
सवाल 4 : क्या ये नियम सभी परीक्षाओं में काम आते हैं?
जवाब : हाँ – UPSC, SSC, Bank, Railway, UPPCS, सभी में।
सवाल 5 : क्या मैं बिना फॉर्मूले याद किए शेष निकाल सकता हूँ?
जवाब : कुछ हद तक, लेकिन फॉर्मूले से जल्दी आता है। कम से कम 2, 3, 4, 5, 9, 10 के नियम याद करो।
निष्कर्ष – अब तुम मास्टर हो
दोस्तों, शेषफल प्रमेय डरने वाला टॉपिक नहीं है। यह तो बस रुपए बाँटने वाला खेल है।
हमने इस लेख में एक-एक नियम को खोलकर, उदाहरणों के साथ, कदम-दर-कदम समझा है। अब तुम्हें किसी से डरने की जरूरत नहीं है।
बस इतना याद रखो :
- शेष निकालने के लिए हमेशा पहले भाजक पहचानो।
- 2, 4, 5, 8, 10 के लिए अंतिम अंक देखो।
- 3, 9 के लिए अंकों का योग देखो।
- 11 के लिए एकांतर अंकों का अंतर।
- 7, 13, 17, 19 के लिए शॉर्ट ट्रिक्स।
- घात आए तो चक्र निकालो।
अब अभ्यास करो। रोज कम से कम 20 सवाल हल करो। एक हफ्ते में तुम खुद को माहिर पाओगे।
आपकी सफलता ही मेरी सफलता है।